Hallo nochmal in die Runde,
erst mal noch ganz ganz viel Danke für die tatkräftige Unterstützung und Ideen, die ich hier bis jetzt bekommen habe. Ich möchte hier jetzt mal versuchen, alles nochmal zusammenzufassen, was bei meinem Problem funktioniert, bzw. nicht funktioniert:
Ich habe folgende Konfiguration bei zwei Rechnern (Geräte 1 - Laptop, acer Aspire 3 - Tumbleweed, Anschluss via WLAN, Geräte 2 - Desktop, acer Aspire - Tumbleweed, Anschluss via Ethernet) durchgeführt:
1. Ordner angelegt (media/mycloud)
2. Anpassung etc/fstab
Code
//IP-Adresse/Public /media/mycloud cifs username=xxx,password=yyy,user,auto 0 0
3. Anpassung in etc/permissions.local
Code
/sbin/mount.cifs root:root 4755
4. Befehl ausgeführt
Code
sudo chmod +s /sbin/mount.cifs
Ich weiß, sudo gehört da nicht hin, aber ich hoffe, dass ist nicht das Problem.
An dieser Stelle war die Konfiguration bis einschließlich Leap 15.2 abgeschlossen und ich konnte meinen Server uneingeschränkt als "normaler" User via Dolphin nutzen.
Nach weiterer Hilfe habe ich bei beiden Rechner folgenden Befehleingegeben (als root natürlich

Folge:
Bei Gerät 1 hat die Konfiguration weiter geholfen, nach zweimal "Neustarten" hatte ich wieder den uneingeschränkten Zugriff auf alle Dateien.
Auf Gerät 2 hatte ich dazu bis jetzt keinen Erfolg. Der "normale" User hat keinen uneingeschränkten Zugriff auf den Server. Als root (dazu starte ich Dophin über das Startmenü --> System --> File Manager - Super User Mode) kann ich den Server wieder uneingeschränkt nutzen.
...
Bis gestern, da habe ich meinen Desktop-Rechner (Geräte 2) gestartet und ich konnte doch auf den Server zugreifen. Denn der "Besitzer" hatt sich wie durch ein Wunder geändert:

Übrigens: diese Änderung habe ich mit dem Befehl
chown -cR username:gruppenname /media/mycloud
durchgeführt. Nachdem dies allerdings mir zunächst nicht weiter geholfen hat, habe ich den Befehl nochmal mit einer anderen Gruppe durchlaufen lassen, was (zunächst) auch nicht weiter geholfen hat. Also, die erste Änderung wurde nach einem Neustart und von einem schon zurückliegenden Befehl wirksam (???).
Nachdem ich dann gestern noch ein Update (zypper dup) durchgeführt hatte, war dann zum Glück heute wieder alles beim alten 

Kommen wir nun zu Gerät 1, denn da hat sich seit dem letzten Update auch einiges getan. Ich bekomme da seit gestern die Fehlermeldung
Beim Zugriff auf "/media/mycloud" ist ein Fehler aufgetreten, die Meldung lautet: This program is not installed setuid root - "user" CIFS mounts not supported.
Diese Fehlermeldung taucht rot umrandet in Dophin auf, wenn ich versuche als "normaler" User auf den Server zuzugreifen. Auch hier hat root (Zugriff siehe oben) wieder uneingeschränkten Zugriff.
Fazit:
So langsam wird mir die ganze Sache unheimlich und mir macht es bald keinen Spass mehr. Ich möchte einfach ganz "normal" mit meinen Rechnern arbeiten und mich nicht täglich mit solchen Konfigurationen die Zeit vertreiben...

wie eingangs geschrieben. Ich bin allen, die hier Vorschläge für mich hatten, dankbar, dass sie sich die Mühe machen und sich die Zeit nehmen mir zu helfen. Dafür schon mal ein ganz fettes Danke 
Ich hoffe, ich finde bald eine Lösung, die von Dauer ist und auf beiden Geräten funktioniert.