lieber Jürgen,
das ist meiner Meinung nach mit Sicherheit kein Hardwareproblem.
Wie man so etwas ausschließen kann, wenn sich der Rechner beim Hochfahren ausschaltet, ist für mich nicht nachvollziehbar.
So kann z.B. der Rechner unter Windows problemlos laufen, weil das RAM unter Windows wesentlich "gemächlicher" beansprucht wird. Obwohl ein Speicherbaustein defekt ist, läuft er unter Windows weil das schlichtweg nicht auffällt bzw. auffallen muss.
Linux nutzt jedoch die Hardware effizient - und das erwarte ich auch von einem anständigen BS: Es soll das maximale Mögliche an Leistung aus der Hardware kitzeln. Genau dann fallen allerdings auch erst Defekte in der Hardware auf.
Unterschiedliche Versionen einer Linux Distribution bedeuten unterschiedliche Effizienz in der Software. Da können minimale Unterschiede schlechte Bauteile entlarven.
Vor allem auf den Speicher würde ich fokussieren: Nur ein falsches Bit beim Hochfahren lässt den Rechner durchaus abnippeln!
Memtest machen - dann weiter sehen.